简介

在数学和抽象代数中，群论（Group Theory）主要研究叫做“群”的代数结构。

群的定义

在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合“群公理”的代数结构。

一个群是一个集合 $$G$$加上对 $$G$$的二元运算。二元运算用 $$\cdot$$表示，它结合了任意两个元素 $$a$$和 $$b$$形成了一个属于 $$G$$的元素，记为 $$a\cdot b$$。

群公理包含下述四个性质（有时略去封闭性，只有三个性质）。若集合 $$G\neq\varnothing$$和 $$G$$上的运算 $$\cdot$$构成的代数结构 $$(G,\cdot)$$满足以下性质：

  1. 封闭性：对于所有 $$G$$中 $$a, b$$，运算 $$a·b$$的结果也在 $$G$$中。
  2. 结合律(Associativity)：对于 $$G$$中所有的 $$a, b, c$$，等式 $$(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$成立。
  3. 标识元(Identity element，也称单位元)： $$G$$中存在一个元素 $$e$$，使得对于 $$G$$中的每一个 $$a$$，都有一个 $$e \cdot a=a\cdot e=a$$成立。这样的元素是独一无二的。它被称为群的标识元素。
  4. 逆元(Inverse element)：对于每个 $$G$$中的 $$a$$，总存在 $$G$$中的一个元素 $$b$$使 $$a \cdot b = b \cdot a = e$$，此处 $$e$$为单位元，称 $$b$$为 $$a$$的逆元，记为 $$a^{-1}$$。

则称 $$(G,\cdot)$$为一个 群。例如，整数集和整数间的加法 $$(\mathbb{Z},+)$$构成一个群，单位元是 $$0$$，一个整数的逆元是它的相反数。

Reference

  1. https://xiaocairush.github.io/math/group-theory/ - 群论简介