整除/同余理论常见符号

  1. 整除符号： $$x \mid y$$，表示 $$x$$整除 ，即 $$x$$是 $$y$$的因数。
  2. 取模符号： $$x \bmod y$$，表示 $$x$$除以 $$y$$得到的余数。
  3. 互质符号： $$x \perp y$$，表示 $$x$$，$$y$$互质。
  4. 最大公约数： $$\gcd(x,y)$$，在无混淆意义的时侯可以写作 $$(x,y)$$。
  5. 最小公倍数： $$\operatorname{lcm}(x,y)$$，在无混淆意义的时侯可以写作 $$[x,y]$$

数论函数常见符号

求和符号：$$\sum$$符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子：

  • $$\sum_{i=1}^n i$$表示 $$1+2+\dotsb+n$$的和。其中 $$i$$是一个变量，在求和符号的意义下 $$i$$通常是 正整数或者非负整数（除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为，$$i$$从 $$1$$循环到 $$n$$所有 $$i$$的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道 $$\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$$。
  • $$\sum_{S\subseteq T}|S|$$表示所有被 $$T$$包含的集合的大小的和。
  • $$\sum_{p\le n,p\perp n}1$$表示的是 $$n$$以内有多少个与 $$n$$互质的数，即 $$\varphi(n)$$，$$\varphi$$是欧拉函数。

求积符号： $$\prod$$符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子：

  • $$\prod_{i=1}^ni$$表示 $$n$$的阶乘，即 $$n!$$。在组合数学常见符号中会讲到。
  • $$\prod_{i=1}^na_i$$表示 $$a_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_n$$。
  • $$\prod_{x|d}x$$表示 $$d$$的所有因数的乘积。

其他常见符号

  1. 阶乘符号 $$!$$，$$n!$$表示 $$1\times 2\times 3\times \dotsb \times n$$。特别地，$$0!=1$$。
  2. 向下取整符号：$$\lfloor x\rfloor$$，表示小于等于 $$x$$的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 $$\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor$$。
  3. 向上取整符号： $$\lceil x\rceil$$，与向下取整符号相对，表示大于等于 $$x$$的最小的整数。

Reference

  1. https://xiaocairush.github.io/math/notation/ - 符号